Odifreddi: Si dice spesso che la matematica è una scienza, al punto che nelle facoltà universitarie si parla di Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali. Però la mia impressione è che la matematica non sia una scienza: è utile per le scienze, ma il suo modo stesso di procedere è quasi antitetico. Le scienze partono dalle conclusioni che sono i dati sperimentali e cercano di risalire all'indietro in modo da costruire delle teorie che poi le spieghino. Certo che, poi, le teorie hanno anche un valore predittivo, però l'obbiettivo principale delle scienze è quello di spiegare ciò che già si sa.

Giorello: Perché fa buio di notte.

Odifreddi: Appunto, per esempio. La matematica fa il contrario: spesso parte da degli assiomi che sono ottenuti in qualche modo attraverso un'analisi filosofica o logica delle nozioni, e va avanti. I metodi della matematica e della scienza sono contrapposti: in un caso si parla di 'deduzione' nell'altro caso si parla di 'induzione'. Quindi, mettere la matematica nello stesso calderone con le scienze, non andrebbe più fatto.

Giorello: Forse è ancora riduttivo. Toglie quella dimensione umana e filosofica di cui parlavamo prima

Odifreddi: Mentre tenerla separata permette, per l'appunto, di farle fare da ponte tra le due culture, cioè la cultura scientifica, quella che studia il mondo esterno, la fisica, la chimica, la biologia, le scienze cosiddette appunto naturali e, dall'altra parte, l'umanesimo, cioè la filosofia, la letteratura e così via. E la matematica è un po' lì, a metà. E proprio questo fatto che stia a metà è quello che le permette di essere un collegamento. Nessuno direbbe che la matematica è letteratura. Per quale motivo allora bisognerebbe dire che la matematica è solo…

Giorello: Fisica, o biologia, o magari economia.

Odifreddi: Esatto. La cosa tra l'altro poi ha degli effetti deleteri. Io credo che se facessimo un'indagine e chiedessimo in giro quale è stato il più grande matematico del Novecento, la maggior parte delle persone direbbe Einstein, che non era un matematico per nulla, era un fisico . E anche, addirittura, i suoi problemi in matematica li ha avuti non soltanto a scuola, il che può essere secondario, ma anche quando si trattava di scrivere le famose equazioni della relatività generale. Al punto che un matematico, David Hilbert, ci arrivò prima di lui, una settimana prima, perché i matematici queste cose le sanno fare meglio. E' chiaro che Einstein aveva l'intuizione fisica, propria del fisico, però considerarlo un matematico è sbagliato. Ed è proprio la conseguenza di questo atteggiamento, del mettere la matematica all'interno del calderone.

Giorello: Delle scienze della natura o, più in generale, della scienza empirica. Sì, io sono fortemente d'accordo.
Nella domanda c'è un altro aspetto che mi pare interessante. Tu, giustamente dicevi prima, in molti casi assumi come premessa del tuo ragionamento degli assiomi e lavori lì dentro. Allora, la verità della matematica è una verità relativa al sistema assiomatico particolare assunto. Molto bene, e questa è una lezione di relativismo? Questo era un po' il timore, forse, sotteso a quella domanda. Sì e no. Sì, nel senso che appunto la verità è relativa a quella particolare teoria. Ma è un relativismo che ci dice che tutto uguale? Niente affatto. Ci sono teorie migliori di altre, teorie più articolate, teorie più significative. Quindi, abituarsi a una relativizzazione della verità non vuol dire essere preda di un relativismo sfrenato. Ecco, io uso la bella immagine che il matematico Federigo Enriques usava agli inizi del Novecento: è imparare che in qualche modo la scienza, in questo senso, è democratica, nel senso che non ci sono i principi assoluti. Cambiando i principi, cambia la nozione di verità interna a quei principi e si fa l'esperienza di differenti sistemi minimi di pensiero. Se questo è relativismo, allora viva il relativismo.

Odifreddi: Credo che, però, la domanda fosse in qualche modo suggerita all'ascoltatore dal teorema di Gödel, che viene spesse volte frainteso in questo senso. Il teorema di Gödel dimostra semplicemente che non tutte le verità si possono dimostrare, appunto, dal punto di vista matematico. Dimostra cioè una limitazione della matematica, ma è una limitazione non nel senso del relativismo: cioè che ciò che prima era noto, adesso non possiamo più crederlo. In realtà Gödel ha dimostrato che la matematica può fare certe cose, ma non tutte. È una limitazione del senso di potenza, vivaddio.

Giorello: E non riesce ad autogiustificarsi.

Odifreddi: Ma questo non scalfisce la verità matematica: cioè ciò che i matematici dimostrano, appunto, dipende dagli assiomi, ma una volta fissati gli assiomi, questa è una conseguenza necessaria degli assiomi. Mentre il teorema di Gödel troppo spesso viene riformulato in questa maniera un po' approssimativa che si presta ai fraintendimenti.

Giorello: Sì. E tra l'altro questa presentazione non rende giustizia agli aspetti interessanti e stimolanti del teorema di Gödel, cioè al fatto che getta una luce forte sul fenomeno dell'autoriferimento. L'autoriferimento, ecco un altro bell'esempio di legame tra riflessione matematica e umanesimo. Perché l'autoriferimento è un'esperienza che noi facciamo molto spesso, in molti settori. Studiamo il cosmo, ma siamo una parte di questo cosmo che studiamo, studiamo i viventi, ma siamo anche noi esseri viventi, vogliamo studiare l'intelligenza, ma siamo dei soggetti intelligenti, vogliamo studiare la società, ma facciamo parte della società che studiamo. L'autoriferimento attraversa non poche imprese umane. Si impara a fare i conti con l'autoriferimento fin dai tempi di Epimenide il cretese che dice: "Tutti i cretesi mentono"… Un allettante esempio di autoriferimento che, poi, è l'idea che ritroviamo codificata nella conclusione di Gödel e, poi, nel teorema di Tarski sulla difficoltà di esprimere il concetto di verità in modo formale. Ecco, i grandi teoremi cosiddetti della logica contemporanea, in realtà ci fanno toccare le difficoltà profonde di un grande problema filosofico. Il problema che ci riferiamo necessariamente a noi stessi, mentre cerchiamo di proiettarci sul mondo. Forse, veramente la sfida più difficile è il "conosci te stesso" dell'oracolo di Delfi. La truffa maggiore forse è stata questa.

Odifreddi: A proposito del teorema di Gödel, ho una metafora, per spiegarlo, che si riferisce al potere giudiziario. La verità è l'analogo di quello che i pubblici ministeri, gli accusatori, cercano di scoprire quando fanno le indagini e cercano di capire che cosa effettivamente è successo. Quando, però, si fanno i processi, i processi non possono essere fatti altro che all'interno di una certa legislazione che corrisponde esattamente agli assiomi e alle regole dei sistemi formali matematici. Quindi, anche dal punto di vista giudiziario, c'è una differenza tra ciò che si può dimostrare, che sono appunto i contenuti delle sentenze, e ciò che invece veramente è successo. E questo è l'analogo della dimostrabilità e della verità in matematica. Il teorema di Gödel dice semplicemente che ci sono verità indimostrabili. E questo in tutti i processi di mafia lo fanno vedere.
Ci sono cose che si sa benissimo come sono andate, però un conto è sapere qual è la verità e un conto è riuscire a dimostrarla. Il teorema di Gödel dice proprio questo, che tante cose che in matematica sono vere, però poi non si riescono a dimostrare, con i mezzi della matematica. E questo appunto mi sembra una buona metafora.

Giorello: Attenzione, però, a non forzare troppo il paragone tra la matematica e la mafia…